Lintasan Branchistochrone

Problema Branchsirochron merupakan studi untuk menentukan bentuk kurva di mana sebuah manik (bead) yang meluncur dari keadaan diam dan dipercepat oleh gravitasi akan tergelincir (tanpa gesekan) dari satu titik ke titik lainnya dalam waktu paling singkat. Istilah ini berasal dari bahasa Yunani betarhoalphachiiotasigmatauomicronsigma( brachistos ) "yang terpendek" dan chirhoomicronnuomicronsigma( kronos ) "waktu, penundaan".

 `t_{12}=\int_{P_1}^{P_2}\frac{ds}v`

                                                                 (1)

Masalah brachistochrone adalah salah satu masalah paling awal yang diajukan dalam kalkulus variasi . Newton ditantang untuk memecahkan masalah tersebut pada tahun 1696, dan melakukannya keesokan harinya (Boyer dan Merzbach 1991, hal. 405). Faktanya, solusinya, yaitu segmen sikloid , ditemukan oleh Leibniz, L'Hospital, Newton, dan dua Bernoullis. Johann Bernoulli memecahkan masalah ini dengan menggunakan analogi dengan mempertimbangkan jalur cahaya yang dibiaskan oleh lapisan transparan dengan kepadatan yang bervariasi (Mach 1893, Gardner 1984, Courant dan Robbins 1996). Sebenarnya, Johann Bernoulli awalnya menemukan bukti yang salah bahwa kurva tersebut adalah sikloid, dan menantang saudaranya Jakob untuk menemukan kurva yang diperlukan. Ketika Jakob melakukannya dengan benar, Johann mencoba mengganti buktinya dengan buktinya sendiri (Boyer dan Merzbach 1991, hal. 417).

Dalam solusinya, manik sebenarnya dapat bergerak menanjak sepanjang sikloid untuk jarak tertentu, namun jalurnya tetap lebih cepat daripada garis lurus (atau garis lainnya).

Waktu yang diperlukan untuk berpindah dari suatu titik ke titik lainnya dinyatakan dengan integral

      `t_{12}=\int_{P_1}^{P_2}\frac{ds}v`

                                                                 (1)

dimana  adalah panjang busur dan  kecepatannya . Kecepatan pada suatu titik diberikan dengan penerapan sederhana kekekalan energi yang menyamakan energi kinetik dengan energi potensial gravitasi,

(2)

sehingga,

(3)

Memasukkannya ke Persamaan (1) dan menggunakan relasi

(4)

lalu diperoleh

			(5)
			(6)

Fungsi yang akan diselesaikan adalah

(7)

Untuk melanjutkan, kita biasanya harus menerapkan persamaan diferensial Euler-Lagrange secara menyeluruh

(8)

Namun, fungsinya  yang terbaik karena  tidak muncul secara eksplisit. Oleh karena itu , dan kita dapat segera menggunakan identitas Beltrami

(9)

Selanjutnya,

(10)

mengurangkan , dan menyederhanakan lalu memberikan

(11)

Mengkuadratkan kedua sisi dan menata ulang sedikit akan menghasilkan

			(12)
			(13)

dimana kuadrat konstanta lama  dinyatakan dalam konstanta baru ( positif ) . Persamaan ini diselesaikan dengan persamaan parametrik

			(14)
			(15)

yang merupakan persamaan sikloid .

Jika gesekan kinetik disertakan, permasalahan juga dapat diselesaikan secara analitis, meskipun penyelesaiannya jauh lebih kompleks. Dalam hal ini, suku-suku yang berkaitan dengan komponen normal berat dan komponen normal percepatan ( ada karena kelengkungan lintasan ) harus disertakan. Memasukkan kedua variabel tersebut memerlukan teknik variasi terbatas (Ashby dkk. 1975), namun memasukkan komponen normal hanya akan memberikan solusi hampiran. Vektor tangen dan normalnya adalah

			(16)
			(17)

gravitasi dan gesekan kemudian

			(18)
			(19)
			(20)

dan komponen sepanjang kurva adalah

			(21)
			(22)

Hukum Kedua Newton memberikan

(23)

Tetapi

			(24)
			(25)

(26)

(27)

Jadi

(28)

Menggunakan persamaan diferensial Euler-Lagrange memberikan

(29)

Hal ini dapat disederhanakan menjadi

(30)

Sekarang memisalkan

(31)

solusinya adalah

			(32)
			(33)

Referensi

Ashby, N.; Brittin, W. E.; Love, W. F.; and Wyss, W. "Brachistochrone with Coulomb Friction." Amer. J. Phys. 43, 902-905, 1975.Boyer, C. B. and Merzbach, U. C. A History of Mathematics, 2nd ed. New York: Wiley, 1991.Courant, R. and Robbins, H. What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, 1996.Gardner, M. The Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American. Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 130-131, 1984.Haws, L. and Kiser, T. "Exploring the Brachistochrone Problem." Amer. Math. Monthly 102, 328-336, 1995.Hayen, J. C. "Brachistochrone with Coulomb Friction." Int. J. Non-Linear Mech. 40, 1057-1075, 2005.Lipp, S. C. "Brachistochrone with Coulomb Friction." SIAM J. Control Optim. 35, 562-584, 1997.Mach, E. The Science of Mechanics. Chicago, IL: Open Court, 1893.Phillips, J. P. "Brachistochrone, Tautochrone, Cycloid--Apple of Discord." Math. Teacher 60, 506-508, 1967.Smith, D. E. History of Mathematics, Vol. 2: Special Topics of Elementary Mathematics. New York: Dover, p. 326, 1958.Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, pp. 148-149, 1999.Wagon, S. Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 60-66 and 385-389, 1991.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 46, 1991

Disadur dari: https://mathworld.wolfram.com/BrachistochroneProblem.html