Gerak Proyektil dalam Pengaruh Hambatan Udara

Persamaan gerak proyektil dalam pengaruh gaya gesek udara yang sebanding dengan lajunya adalah

$F_{y} = - m g - k v_{y}$ $F_y=-mg-kv_y$

$F_{x} = - k v_{x}$ $F_x=-kv_x$

Sebuah proyektil ditembakan pada sudut elevasi $57^{\circ}$ $57^\circ$ dan kecepatan awal 300 m/s, serta m=150 mg dan k=0.6 kg/s. Asumsikan gaya hambat udara homogen pada semua arah. a) Tentukan kecepatan dan posisi komponen vertikalnya! b)Tentukan kecepatan dan posisi komponen horizontalnya ! c) Tentukan ketinggian puncanya! d) Hitung jangkauan maksimumnya!

( ${sin 57}^{\circ} = 0.8, g = 10 m s^{- 2}$ $\sin\57^\circ=0.8, \g=10\ms^{-2}$ )

Solusi

a. Komponen vertikal

$m \frac{d v_{y}}{d t} = - m g - k v_{y}$ $m\frac{dv_y}{dt}=-mg-kv_y$

Kita susun ulang

$\frac{d v_{y}}{d t} = - (g + (\frac{k}{m}) v_{y}$ $\frac{dv_y}{dt}=-(g+(k/m)v_y$

$\frac{d v_{y}}{(g + (\frac{k}{m}) v_{y})} = - d t$ $\frac{dv_y}{(g+(k/m)v_y)}=-dt$

Kita integralkan kedua ruas secara terpisah. Kita selesaikan dahulu ruas kanan dengan teknik integral substitusi.

Misal

$u = g + (\frac{k}{m}) v_{y}$ $u=g+(k/m)v_y$

maka diperoleh

$d u = (\frac{k}{m}) d v_{y}$ $du=(k/m)\dv_y$

atau

$d v_{y} = (\frac{m}{k}) d u$ $dv_y=(m/k)du$

sehingga

$\int_{v_{0 y}}^{v_{y}} \frac{d v_{y}}{(g + (\frac{k}{m}) v_{y})} = \frac{m}{k} \int_{u_{0}}^{u} \frac{d u}{u}$ $\int_{v_{0y}}^{v_y}\frac{dv_y}{(g+(k/m)v_y)}=\frac mk\int_{u_0}^u\frac{du}u$

$\frac{m}{k} (ln u - {ln u}_{0}) = \frac{m}{k} ln (\frac{u}{u_{0}}) = \frac{m}{k} ln (\frac{g + \frac{k}{m} v_{y}}{g + \frac{k}{m} v_{0 y}})$ $\frac mk(\ln u-\ln u_0)=\frac mk\ln\left(\frac u{u_0}\right)=\frac mk\ln\left(\frac{g+\frac kmv_y}{g+\frac kmv_{0y}}\right)$

Sementara, hasil intergral ruas kanan

$\int_{0}^{t} - d t = - t$ $\int_0^t-dt=-t$

Jadi

$\frac{m}{k} ln (\frac{g + \frac{k}{m} v_{y}}{g + \frac{k}{m} v_{0 y}}) = - t$ $\frac mk\ln\left(\frac{g+\frac kmv_y}{g+\frac kmv_{0y}}\right)=-t$

atau

$ln (\frac{g + \frac{k}{m} v_{y}}{g + \frac{k}{m} v_{0 y}}) = - \frac{k}{m} t$ $\ln\left(\frac{g+\frac kmv_y}{g+\frac kmv_{0y}}\right)=-\frac kmt$

$g + \frac{k}{m} v_{y} = (g + \frac{k}{m} v_{0 y}) e^{- \frac{k}{m} t}$ $g+\frac kmv_y=\left(g+\frac kmv_{0y}\right)e^{-\frac kmt}$

$v_{y} (t) = - \frac{m g}{k} + (\frac{m g}{k} + v_{0 y}) e^{- \frac{k}{m} t}$ $v_y(t)=-\frac{mg}k+\left(\frac{mg}k+v_{0y}\right)e^{-\frac kmt}$

Dari soal diketahui $\frac{k}{m} = 4 s^{- 1}$ $\frac km=4s^{-1}$ ; $\frac{m g}{k} = 2.5 m s^{- 1}$ $\frac{mg}k=2.5ms^{-1}$ ; dan $v_{0 y} = v_{0} {sin 57}^{\circ} = 240 m s^{- 1}$ $v_{0y}=v_0\sin57^\circ=240ms^{-1}$ . Memasukan nilai-nilai ini ke $v_{y} (t)$ $v_y(t)$ diperoleh

$v_{y} (t) = - 2.5 + 242.5 e^{- 4 t} (m s^{- 1})$ $v_y(t)=-2.5+242.5e^{-4t} (ms^{-1})$

Jika posisi awalnya adalah $y_{0} = 0$ $y_0=0$ , maka posisi vertikalnya

$y (t) - y (0) = \int_{0}^{t} v_{y} d t$ $y(t)-y(0)=\int_0^tv_ydt$

$y (t) - 0 = \int_{0}^{t} (- 2.5 + 242.5 e^{- 4 t}) d t$ $\y(t)-0=\int_0^t(-2.5+242.5e^{-4t})dt$

$y (t) = - 2.5 t + 60.6 (1 - e^{- 4 t})$ $\y(t)=-2.5t+60.6(1-e^{-4t})$

b. Komponen horizontal

$m \frac{d v_{x}}{d t} = - k v_{x}$ $m\frac{dv_x}{dt}=-kv_x$

Kita susun ulang

$\frac{d v_{x}}{d t} = - (\frac{k}{m}) v_{x}$ $\frac{dv_x}{dt}=-(k/m)v_x$

$\frac{d v_{x}}{v_{x}} = - (\frac{k}{m}) d t$ $\frac{dv_x}{v_x}=-(k/m)dt$

Kita integralkan kedua ruas

$\int_{v_{0 x}}^{v_{x}} \frac{d v_{x}}{v_{x}} = \int_{0}^{t} - (\frac{k}{m}) d t$ $\int_{v_{0x}}^{v_x}\frac{dv_x}{v_x}=\int_0^t-(k/m)dt$

${ln v}_{x} - {ln v}_{0 x} = - (\frac{k}{m}) t$ $\ln v_x-\ln v_{0x}=-(k/m)t$

$ln \frac{v_{x}}{v_{0 x}} = - (\frac{k}{m}) t$ $\ln\frac{v_x}{v_{0x}}=-(k/m)t$

$v_{x} (t) = v_{0 x} e^{- (\frac{k}{m}) t}$ $v_x(t)=v_{0x}e^{-(k/m)t}$

Substitusi nilai $v_{0x}=v_0\cos57^\circ=180ms^{-1}$ dan $k/m=4s^{-1}$ , diperoleh

$v_x(t)=180e^{-4t}$

Jika posisi awalnya adalah $x_0=0$ , maka posisi horizontalnya

$x(t)-x(0)=\int_0^tv_xdt$

$\x(t)-0=\int_0^t180e^{-4t}dt$

$\x(t)=45(1-e^{-4t})$

Ketinggian maksimum

Tinggi maksimum dicapai saat $v_y=0$ . Jadi

$-\frac{mg}k+\left(\frac{mg}k+v_{0y}\right)e^{-\frac kmt}=0$

$e^{-\frac kmt}=\frac{\frac{mg}k}{\frac{mg}k+v_{0y}}$

$e^{-\frac kmt}=\frac1{1+{\frac{kv_{0y}}{mg}}}$

$-(\frac km)t=\ln\left(\frac1{1+{\frac{kv_{0y}}{mg}}}\right)=-\ln\left(1+\frac{kv_{0y}}{mg}\right)$

$t_p=\frac mk\ln\left(1+\frac{kv_{0y}}{mg}\right)$

$t_p=0.25\ln\left(1+96\right)=1.14s$

Sehingga,

$y_p=-2.5t_p+60.6(1-e^{-4t_p})\cong57.1m$

Bandingan dengan kondisi tanpa gaya hambat udara.

$y_p=\frac{v_{0y}^2}{2g}=2880m$

Jangkauan Maksimum

Jarak tempuh maksimum pada sumbu horizontal terjadi saat $y(t_R)=0$ .

$-2.5t_R+60.6(1-e^{-4t_R})=0$

Penyesaian akar persamaan diatas dengan metode Secant memberikan $t_R=24.24s$ . Sehingga,

$R=45(1-e^{-4t_R})=45m$

Sebenarnya, nilai $x(t)$ sudah mulai konstan sekitar $45m$ sejak $t=1.15s$ atau setelah titik tinggi puncak terjadi yang diperoleh dari

$1-e^{-4t_c}\approx1$

$1-e^{-4t_c}=0.99$

$t_c=-\frac{\ln(1-0.99)}4$

$t_c=1.15s$

Posisi horizontal sejak $t_c$

$x(t_c)=45(1-e^{-4(1.15)})\approx45m$

Bandingkan dengan jangkauan maksimum untuk kondisi tanpa hambatan udara

$R=\frac{v_0^2\sin2\theta}g=8640m$

Demikian solusi persamaan gerak proyektil dalam pengaruh gaya hambat udara. Semoga bermanfaat dan Terimakasih sudah berkunjung!

#fisika #gerakproyektil #hambatanudara

Editing record:

25/11/2021: publikasi soal

28/11/2021: solusi kecepatan komponen vertikal

29/11/2021: solusi kecepatan komponen horizontal

29/11/2021: koreksi dan komplesi jawaban

02/12/2021: penambahan file pdf

My Lecturer Notes

Search This Blog

Kumpulan Soal Induksi Medan Maget