Gerak Proyektil dalam Pengaruh Hambatan Udara

Persamaan gerak proyektil dalam pengaruh gaya gesek udara yang sebanding dengan lajunya adalah

`F_y=-mg-kv_y`

`F_x=-kv_x`

Sebuah proyektil ditembakan pada sudut  elevasi  `57^\circ` dan kecepatan awal 300 m/s, serta m=150 mg dan k=0.6 kg/s. Asumsikan gaya hambat udara homogen pada semua arah.  a) Tentukan kecepatan dan posisi komponen vertikalnya! b)Tentukan kecepatan dan posisi komponen horizontalnya ! c) Tentukan ketinggian puncanya! d) Hitung jangkauan maksimumnya!

(`\sin\57^\circ=0.8, \g=10\ms^{-2}`)    

Solusi

a. Komponen vertikal

`m\frac{dv_y}{dt}=-mg-kv_y`

Kita susun ulang

`\frac{dv_y}{dt}=-(g+(k/m)v_y` 

`\frac{dv_y}{(g+(k/m)v_y)}=-dt`

Kita integralkan kedua ruas secara terpisah. Kita selesaikan dahulu ruas kanan dengan teknik integral substitusi. 

Misal 

`u=g+(k/m)v_y`

maka diperoleh

 `du=(k/m)\dv_y` 

atau

`dv_y=(m/k)du`

sehingga

`\int_{v_{0y}}^{v_y}\frac{dv_y}{(g+(k/m)v_y)}=\frac mk\int_{u_0}^u\frac{du}u`

`\frac mk(\ln u-\ln u_0)=\frac mk\ln\left(\frac u{u_0}\right)=\frac mk\ln\left(\frac{g+\frac kmv_y}{g+\frac kmv_{0y}}\right)`

Sementara, hasil intergral ruas kanan

`\int_0^t-dt=-t`

Jadi

`\frac mk\ln\left(\frac{g+\frac kmv_y}{g+\frac kmv_{0y}}\right)=-t`

atau

`\ln\left(\frac{g+\frac kmv_y}{g+\frac kmv_{0y}}\right)=-\frac kmt`

`g+\frac kmv_y=\left(g+\frac kmv_{0y}\right)e^{-\frac kmt}`

`v_y(t)=-\frac{mg}k+\left(\frac{mg}k+v_{0y}\right)e^{-\frac kmt}`

Dari soal diketahui `\frac km=4s^{-1}`; `\frac{mg}k=2.5ms^{-1}`; dan `v_{0y}=v_0\sin57^\circ=240ms^{-1}`. Memasukan nilai-nilai ini ke `v_y(t)` diperoleh

`v_y(t)=-2.5+242.5e^{-4t} (ms^{-1})`

Jika posisi awalnya adalah `y_0=0`, maka posisi vertikalnya

`y(t)-y(0)=\int_0^tv_ydt`

`\y(t)-0=\int_0^t(-2.5+242.5e^{-4t})dt`

`\y(t)=-2.5t+60.6(1-e^{-4t})`

b. Komponen horizontal

`m\frac{dv_x}{dt}=-kv_x`

Kita susun ulang

`\frac{dv_x}{dt}=-(k/m)v_x` 

`\frac{dv_x}{v_x}=-(k/m)dt`

Kita integralkan kedua ruas 

`\int_{v_{0x}}^{v_x}\frac{dv_x}{v_x}=\int_0^t-(k/m)dt`

`\ln v_x-\ln v_{0x}=-(k/m)t`

`\ln\frac{v_x}{v_{0x}}=-(k/m)t`

`v_x(t)=v_{0x}e^{-(k/m)t}`

Substitusi nilai `v_{0x}=v_0\cos57^\circ=180ms^{-1}` dan `k/m=4s^{-1}`, diperoleh

`v_x(t)=180e^{-4t}`

Jika posisi awalnya adalah `x_0=0`, maka posisi horizontalnya

`x(t)-x(0)=\int_0^tv_xdt`

`\x(t)-0=\int_0^t180e^{-4t}dt`

`\x(t)=45(1-e^{-4t})`

Ketinggian maksimum

Tinggi maksimum dicapai saat `v_y=0`. Jadi

`-\frac{mg}k+\left(\frac{mg}k+v_{0y}\right)e^{-\frac kmt}=0`

`e^{-\frac kmt}=\frac{\frac{mg}k}{\frac{mg}k+v_{0y}}`

`e^{-\frac kmt}=\frac1{1+{\frac{kv_{0y}}{mg}}}`

`-(\frac km)t=\ln\left(\frac1{1+{\frac{kv_{0y}}{mg}}}\right)=-\ln\left(1+\frac{kv_{0y}}{mg}\right)`

`t_p=\frac mk\ln\left(1+\frac{kv_{0y}}{mg}\right)`

`t_p=\frac mk\ln\left(1+\frac{kv_{0y}}{mg}\right)`

`t_p=0.25\ln\left(1+96\right)=1.14s`

Sehingga,

`y_p=-2.5t_p+60.6(1-e^{-4t_p})\cong57.1m`

Bandingan dengan kondisi tanpa gaya hambat udara.

`y_p=\frac{v_{0y}^2}{2g}=2880m`

Jangkauan Maksimum

Jarak tempuh maksimum pada sumbu horizontal terjadi saat `y(t_R)=0`. 

`-2.5t_R+60.6(1-e^{-4t_R})=0`

Penyesaian akar persamaan diatas dengan metode Secant memberikan `t_R=24.24s`. Sehingga,

`R=45(1-e^{-4t_R})=45m`

Sebenarnya, nilai `x(t)` sudah mulai konstan sekitar `45m` sejak `t=1.15s` atau setelah titik tinggi puncak terjadi yang diperoleh dari

`1-e^{-4t_c}\approx1`

`1-e^{-4t_c}=0.99`

`t_c=-\frac{\ln(1-0.99)}4`

`t_c=1.15s`

Posisi horizontal sejak `t_c`

`x(t_c)=45(1-e^{-4(1.15)})\approx45m`

Bandingkan dengan jangkauan maksimum untuk kondisi tanpa hambatan udara

`R=\frac{v_0^2\sin2\theta}g=8640m`

Demikian solusi persamaan gerak proyektil dalam pengaruh gaya hambat udara. Semoga bermanfaat dan Terimakasih sudah berkunjung!

#fisika #gerakproyektil #hambatanudara

Editing record: 

    25/11/2021: publikasi soal

    28/11/2021: solusi kecepatan komponen vertikal

    29/11/2021: solusi kecepatan komponen horizontal

    29/11/2021: koreksi dan komplesi jawaban

    02/12/2021: penambahan file pdf