Soal dan Solusi PDB Linier Orde Satu

Tentukan solusi PDB berikut

2 y' + 4 x y = 8 x

$2y'+4xy=8x$
Bentuk umum PDB orde 1:

y' + P (x) y = Q (x)

$y'+P(x)y=Q(x)$
solusinya:

y (x) = e^{- I} \int Q (x) e^{I} d x + c e^{- I}

$y(x)=e^{-I}\int Q(x)e^Idx+ce^{-I}$
Rubah persamaannya menjadi

y' + 2 x y = 4 x

$y'+2xy=4x$
Dari soal kita peroleh

P (x) = 2 x

$P(x)=2x$ ,

Q (x) = 4 x

$Q(x)=4x$

I = \int P (x) d x = \int 2 x d x = x^{2}

$I=\int P(x)dx=\int2xdx=x^2$
Kemudian

\int Q (x) e^{I} d x = \int 4 x e^{x^{2}} d x = 2 e^{x^{2}}

$\int Q(x)e^Idx=\int4xe^{x^2}dx=2e^{x^2}$
Sehingga, solusi sebagai berikut

y (x) = e^{- I} \int Q (x) e^{I} d x + c e^{- I}

$y(x)=e^{-I}\int Q(x)e^Idx+ce^{-I}$

y (x) = e^{- x^{2}} (2 e^{x^{2}}) + c e^{- x^{2}}

$y(x)=e^{-x^2}(2e^{x^2})+ce^{-x^2}$

y (x) = 2 + c e^{- x^{2}}

$y(x)=2+ce^{-x^2}$

Comments

Tutorial Integrasi MathJax di Blogger

Penulisan formula matematika di laman Blog memang membutuhkan keahlian agar tampilannya menari, rapi, dan serupa dengan tampilan di Word, LaTex, dan sebagainya. Bila kamu sedang membuat tugas ataupun hanya sekadar hobi menulis soal dan solusi Matematika dan Fisika, maka Blog ini akan memberikan kamu tutorial penulisan rumus atau persamaan matematis di laman blog. Tutorial penulisan formula matematis yang kita bahas menggunakan integrasi Blogger dengan MathJax . Sementara penulisannya dibantu MathType yang dikembangkan untuk web develover. Okay. Berikut langkah-langkah integrasi Blogger dengan MathJax. 1. Copy skrip berikut: <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.4/latest.js?config=AM_CHTML"></script>. 2. Login ke laman Blogger kamu, kemudian di bagian dashboard klik Theme atau tema. 3. Cari kotak 'Costumize' atau 'Kustom' dan klik di tanda pop up nya. Pilih 'Edit HTML' 4. Lalu, letakan/klik kursor sembarang dilama...

Lintasan Branchistochrone

Problema Branchsirochron merupakan studi untuk menentukan bentuk kurva di mana sebuah manik (bead) yang meluncur dari keadaan diam dan dipercepat oleh gravitasi akan tergelincir (tanpa gesekan) dari satu titik ke titik lainnya dalam waktu paling singkat. Istilah ini berasal dari bahasa Yunani betarhoalphachiiotasigmatauomicronsigma( brachistos ) "yang terpendek" dan chirhoomicronnuomicronsigma( kronos ) "waktu, penundaan".

t_{12} = \int_{P_{1}}^{P_{2}} \frac{d s}{v}

$t_{12}=\int_{P_1}^{P_2}\frac{ds}v$ (1) Masalah brachistochrone adalah salah satu masalah paling awal yang diajukan dalam kalkulus variasi . Newton ditantang untuk memecahkan masalah tersebut pada tahun 1696, dan melakuka...

Gerak Proyektil dalam Pengaruh Hambatan Udara

Persamaan gerak proyektil dalam pengaruh gaya gesek udara yang sebanding dengan lajunya adalah

F_{y} = - m g - k v_{y}

$F_y=-mg-kv_y$

F_{x} = - k v_{x}

$F_x=-kv_x$ Sebuah proyektil ditembakan pada sudut elevasi

57^{\circ}

$57^\circ$ dan kecepatan awal 300 m/s, serta m=150 mg dan k=0.6 kg/s. Asumsikan gaya hambat udara homogen pada semua arah. a) Tentukan kecepatan dan posisi komponen vertikalnya! b)Tentukan kecepatan dan posisi komponen horizontalnya ! c) Tentukan ketinggian puncanya! d) Hitung jangkauan maksimumnya! (

{sin 57}^{\circ} = 0.8, g = 10 m s^{- 2}

$\sin\57^\circ=0.8, \g=10\ms^{-2}$ ) Solusi a. Komponen vertikal

m \frac{d v_{y}}{d t} = - m g - k v_{y}

$m\frac{dv_y}{dt}=-mg-kv_y$ Kita susun ulang

\frac{d v_{y}}{d t} = - (g + (\frac{k}{m}) v_{y}

$\frac{dv_y}{dt}=-(g+(k/m)v_y$

\frac{d v_{y}}{(g + (\frac{k}{m}) v_{y})} = - d t

$\frac{dv_y}{(g+(k/m)v_y)}=-dt$ Kita integralkan kedua ruas secara terpisah. Kita selesaikan dahulu ruas kanan dengan teknik integral substitusi. Misal

u = g + (\frac{k}{m}) v_{y}

$u=g+(k/m)v_y$ maka diperoleh

d u = (\frac{k}{m}) d v_{y}

$du=(k/m)\dv_y$ atau

d v_{y} = (\frac{m}{k}) d u

$dv_y=(m/k)du$ sehingga

\int_{v_{0 y}}^{v_{y}} \frac{d v_{y}}{(g + (\frac{k}{m}) v_{y})} = \frac{m}{k} \int_{u_{0}}^{u} \frac{d u}{u}

$\int_{v_{0y}}^{v_y}\frac{dv_y}{(g+(k/m)v_y)}=\frac mk\int_{u_0}^u\frac{du}u$ `\frac mk(\ln u-\l...